Докажите равенство: синус в степени четыре угла а плюс косинус в степени четыре угла а минус синус в степени шесть угла

Aleksandra

3

Для начала, воспользуемся тригонометрическим тождеством двойного угла для синуса и косинуса:

\[\sin^2(a) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2a))\]
\[\cos^2(a) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2a))\]

Затем, воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы углов:

\[\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\]
\[\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\]

Теперь, применим эти формулы к нашей задаче. Начнем с левой стороны равенства:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= \sin^4(a) + \cos^4(a) - \sin^6(a) - \cos^6(a) \\
&= (\sin^2(a))^2 + (\cos^2(a))^2 - (\sin^2(a))^3 - (\cos^2(a))^3 \\
&= \left(\frac{1}{2}(1 - \cos(2a))\right)^2 + \left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2a))\right)^2 - \left(\frac{1}{2}(1 - \cos(2a))\right)^3 - \left(\frac{1}{2}(1 + \cos(2a))\right)^3 \\
\end{aligned}
\]

Теперь, раскроем скобки и упростим выражения:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= \frac{1}{4}(1 - 2\cos(2a) + \cos^2(2a)) + \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2a) + \cos^2(2a)) - \frac{1}{8}(1 - 3\cos(2a) + 3\cos^2(2a) - \cos^3(2a)) \\
&\quad - \frac{1}{8}(1 + 3\cos(2a) + 3\cos^2(2a) + \cos^3(2a)) \\
&= \frac{1}{4}(2 - 2\cos(2a) + 2\cos^2(2a)) - \frac{1}{8}(2 + 6\cos^2(2a) - 2\cos^3(2a)) \\
&= \frac{1}{2}(1 - \cos(2a) + \cos^2(2a)) - \frac{1}{8}(2 + 6\cos^2(2a) - 2\cos^3(2a)) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, заметим, что \(\cos^2(2a) = 1 - \sin^2(2a)\) и воспользуемся тригонометрическим тождеством для синуса:

\[\sin^2(2a) = \frac{1}{2}(1 - \cos(4a))\]

Подставим это выражение в нашу длинную формулу:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= \frac{1}{2}(1 - \cos(2a) + 1 - \frac{1}{2}(1 - \cos(4a))) - \frac{1}{8}(2 + 6(1 - \frac{1}{2}(1 - \cos(4a))) - 2(1 - \frac{1}{2}(1 - \cos(4a)))^3) \\
&= \frac{1}{2}(2 - \cos(2a) - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(4a)) - \frac{1}{8}(2 + 6 - 3 + 3\cos(4a) - 2 + \frac{1}{2}\cos(4a) - \frac{1}{2}\cos^3(4a)) \\
&= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}(8 + \frac{1}{2}\cos^3(4a)) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, заметим, что \(\cos^3(4a) = (\cos^2(4a))( \cos(4a)) = (1 - \sin^2(4a))(\cos(4a))\) и вспомним, что \(\sin^2(4a) = \frac{1}{2}(1 - \cos(8a))\):

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}(8 + \frac{1}{2}(1 - \cos(8a)))(\cos(4a)) \\
&= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}(8\cos(4a) + \frac{1}{2}(1 - \cos(8a))\cos(4a)) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, раскроем скобки и упростим выражение:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}(8\cos(4a) + \frac{1}{2}(\cos(4a) - \cos(12a))) \\
&= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}(8\cos(4a) + \frac{1}{2}\cos(4a) - \frac{1}{2}\cos(12a)) \\
&= 1 - \frac{1}{4}\cos(2a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - (\cos(4a) + \frac{1}{4}\cos(4a) - \frac{1}{8}\cos(12a)) \\
&= 1 - \frac{1}{8}\cos(2a) - \frac{1}{2}\cos(4a) + \frac{1}{8}\cos(12a) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

\[\sin(2a) = \sin(a + a) = \sin(a)\cos(a) + \cos(a)\sin(a) = 2\sin(a)\cos(a)\]

и запишем формулу для \(\cos(2a)\) в терминах синуса:

\[\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a)\]

подставим эти значения в нашу формулу:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= 1 - \frac{1}{8}(1 - 2\sin^2(a)) - \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2(a))^2 + \frac{1}{8}\cos(12a) \\
&= 1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{4}\sin^2(a) - \frac{1}{2}(1 - 4\sin^2(a) + 4\sin^4(a)) + \frac{1}{8}\cos(12a) \\
&= \frac{7}{8} + \frac{1}{4}\sin^2(a) - \frac{1}{2} + 2\sin^2(a) - 2\sin^4(a) + \frac{1}{8}\cos(12a) \\
&= \frac{5}{8} + \frac{7}{4}\sin^2(a) - 2\sin^4(a) + \frac{1}{8}\cos(12a)
\end{aligned}
\]

Теперь, заметим, что \(\cos(12a) = 64\cos^6(a) - 96\cos^4(a) + 36\cos^2(a) - 1\) и воспользуемся формулой для \(\cos^2(a)\) в терминах синуса:

\[\cos^2(a) = 1 - \sin^2(a)\]

подставим это значение в формулу для \(\cos(12a)\):

\[
\begin{aligned}
\cos(12a) &= 64(1 - \sin^2(a))^3 - 96(1 - \sin^2(a))^2 + 36(1 - \sin^2(a)) - 1 \\
&= 64(1 - 3\sin^2(a) + 3\sin^4(a) - \sin^6(a)) - 96(1 - 2\sin^2(a) + \sin^4(a)) + 36(1 - \sin^2(a)) - 1 \\
&= 64 - 192\sin^2(a) + 192\sin^4(a) - 64\sin^6(a) - 96 + 192\sin^2(a) - 96\sin^4(a) + 36 - 36\sin^2(a) - 1 \\
&= - 64\sin^6(a) + 96\sin^4(a) - 36\sin^2(a) - 97
\end{aligned}
\]

Теперь, подставим это значение в нашу формулу:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= \frac{5}{8} + \frac{7}{4}\sin^2(a) - 2\sin^4(a) + \frac{1}{8}(- 64\sin^6(a) + 96\sin^4(a) - 36\sin^2(a) - 97) \\
&= \frac{5}{8} + \frac{7}{4}\sin^2(a) - 2\sin^4(a) - \frac{64}{8}\sin^6(a) + \frac{96}{8}\sin^4(a) - \frac{36}{8}\sin^2(a) - \frac{97}{8} \\
&= \frac{5}{8} - \frac{36}{8}\sin^2(a) + \frac{24}{8}\sin^4(a) - \frac{64}{8}\sin^6(a) - \frac{97}{8}
\end{aligned}
\]

Теперь, заметим, что \(1 = \sin^2(a) + \cos^2(a)\) и воспользуемся этим тождеством:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= \frac{5}{8} - \frac{36}{8}(\sin^2(a) + \cos^2(a)) + \frac{24}{8}(\sin^2(a) + \cos^2(a))^2 - \frac{64}{8}(\sin^2(a) + \cos^2(a))^3 - \frac{97}{8} \\
&= \frac{5}{8} - \frac{36}{8} + \frac{36}{8}\cos^2(a) + \frac{24}{8}(\sin^2(a) + 2\sin^2(a)\cos^2(a) + \cos^4(a)) \\
&\quad - \frac{64}{8}(\sin^2(a) + \cos^2(a))^3 - \frac{97}{8} \\
&= - \frac{31}{8} + \frac{36}{8}\cos^2(a) + \frac{24}{8}(\sin^2(a) + 2\sin^2(a)\cos^2(a) + \cos^4(a)) - \frac{64}{8} \\
&= - \frac{31}{8} + \frac{36}{8}\cos^2(a) + \frac{24}{8}\sin^2(a) + \frac{48}{8}\sin^2(a)\cos^2(a) + \frac{24}{8}\cos^4(a) - \frac{64}{8} \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8}\cos^2(a) + \frac{24}{8}\sin^2(a) + \frac{48}{8}\sin^2(a)\cos^2(a) + \frac{24}{8}\cos^4(a) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, объединим несколько членов и упростим выражение:

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8}\cos^2(a) + \frac{24}{8}\sin^2(a) + \frac{48}{8}\sin^2(a)\cos^2(a) + \frac{24}{8}\cos^4(a) \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8}(1 - \sin^2(a)) + \frac{24}{8}\sin^2(a) + \frac{48}{8}\sin^2(a)(1 - \sin^2(a)) + \frac{24}{8}\cos^4(a) \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8} - \frac{36}{8}\sin^2(a) + \frac{24}{8}\sin^2(a) + \frac{48}{8}\sin^2(a) - \frac{48}{8}\sin^4(a) + \frac{24}{8}\cos^4(a) \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8} + \frac{60}{8}\sin^2(a) - \frac{48}{8}\sin^4(a) + \frac{24}{8}\cos^4(a) \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8} + \frac{60}{8}\sin^2(a) - \frac{48}{8}\sin^4(a) + \frac{24}{8}(1 - \sin^2(a))^2 \\
\end{aligned}
\]

Воспользуемся формулой \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) для \(\sin^2(a)\) и \(\cos^2(a)\):

\[
\begin{aligned}
\text{Левая сторона} &= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8} + \frac{60}{8}\sin^2(a) - \frac{48}{8}\sin^4(a) + \frac{24}{8}(1 - 2\sin^2(a) + \sin^2(a)) \\
&= - \frac{95}{8} + \frac{36}{8} + \frac{60}{8}\sin^2(a) - \frac{48}{8}\sin^4(a) + \frac{24}{8}(1 - 2\sin^2(a) + \cos^2(a)) \\
\end{aligned}
\]

Теперь, воспользуемся формулой \(\cos