Докажите равенство: синус в степени четыре угла а плюс косинус в степени четыре угла а минус синус в степени шесть угла

  • 29
Докажите равенство: синус в степени четыре угла а плюс косинус в степени четыре угла а минус синус в степени шесть угла а минус косинус в степени шесть угла а равно синус в степени два угла а умножить на косинус в степени два угла а.
Aleksandra
3
Для начала, воспользуемся тригонометрическим тождеством двойного угла для синуса и косинуса:

sin2(a)=12(1cos(2a))
cos2(a)=12(1+cos(2a))

Затем, воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы углов:

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)

Теперь, применим эти формулы к нашей задаче. Начнем с левой стороны равенства:

Левая сторона=sin4(a)+cos4(a)sin6(a)cos6(a)=(sin2(a))2+(cos2(a))2(sin2(a))3(cos2(a))3=(12(1cos(2a)))2+(12(1+cos(2a)))2(12(1cos(2a)))3(12(1+cos(2a)))3

Теперь, раскроем скобки и упростим выражения:

Левая сторона=14(12cos(2a)+cos2(2a))+14(1+2cos(2a)+cos2(2a))18(13cos(2a)+3cos2(2a)cos3(2a))18(1+3cos(2a)+3cos2(2a)+cos3(2a))=14(22cos(2a)+2cos2(2a))18(2+6cos2(2a)2cos3(2a))=12(1cos(2a)+cos2(2a))18(2+6cos2(2a)2cos3(2a))

Теперь, заметим, что cos2(2a)=1sin2(2a) и воспользуемся тригонометрическим тождеством для синуса:

sin2(2a)=12(1cos(4a))

Подставим это выражение в нашу длинную формулу:

Левая сторона=12(1cos(2a)+112(1cos(4a)))18(2+6(112(1cos(4a)))2(112(1cos(4a)))3)=12(2cos(2a)12+12cos(4a))18(2+63+3cos(4a)2+12cos(4a)12cos3(4a))=114cos(2a)+14cos(4a)18(8+12cos3(4a))

Теперь, заметим, что cos3(4a)=(cos2(4a))(cos(4a))=(1sin2(4a))(cos(4a)) и вспомним, что sin2(4a)=12(1cos(8a)):

Левая сторона=114cos(2a)+14cos(4a)18(8+12(1cos(8a)))(cos(4a))=114cos(2a)+14cos(4a)18(8cos(4a)+12(1cos(8a))cos(4a))

Теперь, раскроем скобки и упростим выражение:

Левая сторона=114cos(2a)+14cos(4a)18(8cos(4a)+12(cos(4a)cos(12a)))=114cos(2a)+14cos(4a)18(8cos(4a)+12cos(4a)12cos(12a))=114cos(2a)+14cos(4a)(cos(4a)+14cos(4a)18cos(12a))=118cos(2a)12cos(4a)+18cos(12a)

Теперь, воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

sin(2a)=sin(a+a)=sin(a)cos(a)+cos(a)sin(a)=2sin(a)cos(a)

и запишем формулу для cos(2a) в терминах синуса:

cos(2a)=12sin2(a)

подставим эти значения в нашу формулу:

Левая сторона=118(12sin2(a))12(12sin2(a))2+18cos(12a)=118+14sin2(a)12(14sin2(a)+4sin4(a))+18cos(12a)=78+14sin2(a)12+2sin2(a)2sin4(a)+18cos(12a)=58+74sin2(a)2sin4(a)+18cos(12a)

Теперь, заметим, что cos(12a)=64cos6(a)96cos4(a)+36cos2(a)1 и воспользуемся формулой для cos2(a) в терминах синуса:

cos2(a)=1sin2(a)

подставим это значение в формулу для cos(12a):

cos(12a)=64(1sin2(a))396(1sin2(a))2+36(1sin2(a))1=64(13sin2(a)+3sin4(a)sin6(a))96(12sin2(a)+sin4(a))+36(1sin2(a))1=64192sin2(a)+192sin4(a)64sin6(a)96+192sin2(a)96sin4(a)+3636sin2(a)1=64sin6(a)+96sin4(a)36sin2(a)97

Теперь, подставим это значение в нашу формулу:

Левая сторона=58+74sin2(a)2sin4(a)+18(64sin6(a)+96sin4(a)36sin2(a)97)=58+74sin2(a)2sin4(a)648sin6(a)+968sin4(a)368sin2(a)978=58368sin2(a)+248sin4(a)648sin6(a)978

Теперь, заметим, что 1=sin2(a)+cos2(a) и воспользуемся этим тождеством:

Левая сторона=58368(sin2(a)+cos2(a))+248(sin2(a)+cos2(a))2648(sin2(a)+cos2(a))3978=58368+368cos2(a)+248(sin2(a)+2sin2(a)cos2(a)+cos4(a))648(sin2(a)+cos2(a))3978=318+368cos2(a)+248(sin2(a)+2sin2(a)cos2(a)+cos4(a))648=318+368cos2(a)+248sin2(a)+488sin2(a)cos2(a)+248cos4(a)648=958+368cos2(a)+248sin2(a)+488sin2(a)cos2(a)+248cos4(a)

Теперь, объединим несколько членов и упростим выражение:

Левая сторона=958+368cos2(a)+248sin2(a)+488sin2(a)cos2(a)+248cos4(a)=958+368(1sin2(a))+248sin2(a)+488sin2(a)(1sin2(a))+248cos4(a)=958+368368sin2(a)+248sin2(a)+488sin2(a)488sin4(a)+248cos4(a)=958+368+608sin2(a)488sin4(a)+248cos4(a)=958+368+608sin2(a)488sin4(a)+248(1sin2(a))2

Воспользуемся формулой (ab)2=a22ab+b2 для sin2(a) и cos2(a):

Левая сторона=958+368+608sin2(a)488sin4(a)+248(12sin2(a)+sin2(a))=958+368+608sin2(a)488sin4(a)+248(12sin2(a)+cos2(a))

Теперь, воспользуемся формулой \(\cos