Какие интервалы функции y=2x^5-5x^4 являются интервалами возрастания?

Yuzhanka

60

Чтобы определить интервалы возрастания функции \(y = 2x^5 - 5x^4\), мы должны найти значения \(x\), при которых производная функции положительна, то есть функция возрастает.

1. Сначала найдем производную функции. Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности, используя правило дифференцирования:

\[y" = \frac{d}{dx}(2x^5) - \frac{d}{dx}(5x^4)\]

Производная константы \(2\) равна нулю, поэтому она исчезает:

\[y" = 10x^4 - 20x^3\]

2. Теперь решим неравенство \(y" > 0\) чтобы определить интервалы возрастания функции.

\[10x^4 - 20x^3 > 0 \]

3. Вынесем общий множитель, в данном случае \(10x^3\):

\[10x^3(x - 2) > 0\]

4. Найдем значения \(x\), когда \(y" > 0\). Для этого рассмотрим знаки каждого множителя:

- Если \(x < 0\), то оба множителя отрицательны, что дает отрицательное значение.
- Если \(x = 0\), то один множитель равен нулю, что также дает отрицательное значение.
- Если \(0 < x < 2\), то первый множитель положителен, а второй отрицателен, что дает положительное значение.
- Если \(x = 2\), то первый множитель равен нулю, что дает ноль.
- Если \(x > 2\), то оба множителя положительны, что снова дает положительное значение.

Таким образом, интервалы возрастания функции \(y = 2x^5 - 5x^4\) находятся между \(0\) и \(2\), то есть \(0 < x < 2\).