Какие первые три слагаемых по возрастанию степени х и их коэффициенты при х в биномиальном разложении у следующих

Шумный_Попугай

18

Конечно, я могу помочь вам с этой задачей!

1) Давайте разложим выражение \((3x + 1)^5\) в биномиальный ряд, используя формулу бинома Ньютона:

\((a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k + ... + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\)

Где \(C_n^k\) представляет собой биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\), где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\).

Применим эту формулу к нашему выражению:

\((3x + 1)^5 = C_5^0 \cdot (3x)^5 \cdot 1^0 + C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot 1^1 + C_5^2 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 + C_5^3 \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + C_5^4 \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 + C_5^5 \cdot (3x)^0 \cdot 1^5\)

Теперь давайте посчитаем значения биномиальных коэффициентов:

\(C_5^0 = \frac{5!}{0! \cdot (5-0)!} = \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 1\)

\(C_5^1 = \frac{5!}{1! \cdot (5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5\)

\(C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10\)

\(C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10\)

\(C_5^4 = \frac{5!}{4! \cdot (5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5\)

\(C_5^5 = \frac{5!}{5! \cdot (5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1\)

Подставим эти значения в разложение:

\((3x + 1)^5 = 1 \cdot (3x)^5 \cdot 1^0 + 5 \cdot (3x)^4 \cdot 1^1 + 10 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 + 10 \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + 5 \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 + 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1^5\)

Теперь можем привести формулу к упрощенному виду:

\((3x + 1)^5 = 243x^5 + 405x^4 + 270x^3 + 90x^2 + 15x + 1\)

Таким образом, первые три слагаемых по возрастанию степени \(x\) и их коэффициенты при \(x\) в выражении \((3x + 1)^5\) равны:

1) 15x (коэффициент: 15)
2) 90x^2 (коэффициент: 90)
3) 270x^3 (коэффициент: 270)

Перейдем теперь ко второму выражению.

2) Применим формулу бинома Ньютона к выражению \((1 - x)^5\):

\((1 - x)^5 = C_5^0 \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 + C_5^1 \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 + C_5^2 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 + C_5^3 \cdot 1^2 \cdot (-x)^3 + C_5^4 \cdot 1^1 \cdot (-x)^4 + C_5^5 \cdot 1^0 \cdot (-x)^5\)

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\(C_5^0 = 1\)

\(C_5^1 = 5\)

\(C_5^2 = 10\)

\(C_5^3 = 10\)

\(C_5^4 = 5\)

\(C_5^5 = 1\)

Подставим значения в разложение:

\((1 - x)^5 = 1 \cdot 1^5 \cdot (-x)^0 + 5 \cdot 1^4 \cdot (-x)^1 + 10 \cdot 1^3 \cdot (-x)^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot (-x)^3 + 5 \cdot 1^1 \cdot (-x)^4 + 1 \cdot 1^0 \cdot (-x)^5\)

Упростим полученное выражение:

\((1 - x)^5 = 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5\)

Таким образом, первые три слагаемых по возрастанию степени \(x\) и их коэффициенты при \(x\) в выражении \((1 - x)^5\) равны:

1) -5x (коэффициент: -5)
2) 10x^2 (коэффициент: 10)
3) -10x^3 (коэффициент: -10)

Надеюсь, это поможет вам в решении задачи! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.