Какие значения принимает функция y=1/3 x^3+x^2-3x-4 на отрезке -4≤x≤2, если найти ее наименьшее и наибольшее значение?

Путешественник_Во_Времени

34

Для начала, давайте найдем значения функции \(y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 4\) на концах отрезка \([-4, 2]\), то есть при \(x = -4\) и \(x = 2\).

При \(x = -4\):
\[y = \frac{1}{3}(-4)^3 + (-4)^2 - 3(-4) - 4 = \frac{1}{3}(-64) + 16 + 12 - 4 = -\frac{64}{3} + 24 - 4 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} - \frac{12}{3} = \frac{-64 + 72 - 12}{3} = -\frac{4}{3}\]

При \(x = 2\):
\[y = \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) - 4 = \frac{1}{3}(8) + 4 - 6 - 4 = \frac{8}{3} + 4 - 6 - 4 = \frac{8 + 12 - 18}{3} = \frac{2}{3}\]

Теперь, чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке, мы будем искать экстремумы функции внутри этого отрезка. Для этого найдем критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции \(y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 4\):
\[y" = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 4) = x^2 + 2x - 3\]

Теперь решим уравнение \(x^2 + 2x - 3 = 0\) чтобы найти критические точки:
\[x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0\]

Мы получаем две критические точки: \(x = -3\) и \(x = 1\).

Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы получить значения функции в этих точках:
При \(x = -3\):
\[y = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) - 4 = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 - 4 = -9 + 9 + 9 - 4 = 5\]

При \(x = 1\):
\[y = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) - 4 = \frac{1}{3}(1) + 1 - 3 - 4 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 4 = -\frac{10}{3}\]

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-4, 2]\) равно \(-\frac{10}{3}\), а наибольшее значение равно 5.