Каким образом можно объяснить неравенство Log5(3/x+2)-log5(x+2

Мирослав

44

Для объяснения неравенства \(\log_5\left(\frac{3}{x+2}\right) - \log_5(x+2)\) мы можем использовать свойства логарифмов и их правила.

1. Сначала, вспомним правило разности двух логарифмов: \(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\). Это правило позволяет нам преобразовать разность логарифмов в логарифм отношения их аргументов.

Применим это правило к нашему неравенству:
\(\log_5\left(\frac{3}{x+2}\right) - \log_5(x+2) = \log_5\left(\frac{3}{x+2} \cdot \frac{1}{x+2}\right)\).

2. Далее, упростим выражение внутри логарифма:
\(\log_5\left(\frac{3}{x+2} \cdot \frac{1}{x+2}\right) = \log_5\left(\frac{3}{(x+2)^2}\right)\).

3. Теперь, вспомним определение логарифма. Логарифм \(\log_a(b)\) есть число \(c\), такое что \(a^c = b\). Следовательно, \(\log_5\left(\frac{3}{(x+2)^2}\right)\) равно \(c\), если \(5^c = \frac{3}{(x+2)^2}\).

4. Для решения уравнения \(5^c = \frac{3}{(x+2)^2}\) можно применить свойство равенства логарифма и степени, а именно \(\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)\). Применим это свойство, чтобы избавиться от логарифма и получить обычное уравнение:
\(c \cdot \log_5(5) = \log_5\left(\frac{3}{(x+2)^2}\right)\).

5. Далее, упростим уравнение, заметив, что \(\log_5(5) = 1\):
\(c = \log_5\left(\frac{3}{(x+2)^2}\right)\).

Таким образом, неравенство \(\log_5\left(\frac{3}{x+2}\right) - \log_5(x+2)\) можно объяснить с помощью применения свойств логарифмов и их правил. В конечном итоге, мы получаем уравнение \(c = \log_5\left(\frac{3}{(x+2)^2}\right)\), где \(c\) - число, такое что \(5^c = \frac{3}{(x+2)^2}\).