Какое значение х соответствует точке минимума функции у=х^3-13х^2-9х+2?

Ольга

51

Чтобы найти значение \( x \), соответствующее точке минимума функции \( y = x^3 - 13x^2 - 9x + 2 \), мы можем воспользоваться методом производной.

1. Сначала найдем производную функции \( y \), которая показывает ее скорость изменения:
\[
y" = 3x^2 - 26x - 9
\]

2. Далее, найдем точку, в которой производная равна нулю, потому что минимум функции обычно находится в такой точке. Решим уравнение:
\[
3x^2 - 26x - 9 = 0
\]

Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[
D = b^2 - 4ac
\]

Для нашего уравнения, где \( a = 3 \), \( b = -26 \), и \( c = -9 \), дискриминант равен:
\[
D = (-26)^2 - 4(3)(-9)
\]

Произведение \( 4ac \) равно \( 4(3)(-9) = -108 \), поэтому:
\[
D = 676 + 432 = 1108
\]

3. Теперь, используя дискриминант, мы можем определить, сколько корней имеет уравнение.

- Если \( D > 0 \), то уравнение имеет два различных корня.
- Если \( D = 0 \), то уравнение имеет один корень кратности два.
- Если \( D < 0 \), то уравнение не имеет вещественных корней.

В нашем случае \( D = 1108 > 0 \), следовательно, уравнение будет иметь два различных корня.

4. Найдем эти корни, используя формулу:
\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Для нашего уравнения, с учетом \( a = 3 \) и \( b = -26 \), получим:
\[
x = \frac{{-(-26) \pm \sqrt{1108}}}{{2(3)}}
\]

Упрощая выражение, получим:
\[
x = \frac{{26 \pm \sqrt{1108}}}{{6}}
\]

5. Таким образом, мы имеем два различных значения \( x \), которые соответствуют точкам экстремума функции \( y \):
\[
x_1 = \frac{{26 + \sqrt{1108}}}{{6}}
\]
\[
x_2 = \frac{{26 - \sqrt{1108}}}{{6}}
\]

Мы можем вычислить точные значения \( x_1 \) и \( x_2 \), но они будут десятичными дробями. Если вы хотите, чтобы ответ был в числовой форме, я могу вычислить их для вас.