Какова область определения функции y = корень из (x^2-36 +5x+3) / (корень из (11x-x^2-10) -корень третьей степени

Анжела

16

Чтобы найти область определения функции, необходимо проверить значения переменной, при которых функция неопределена или дает бесконечное значение. В данном случае, для того чтобы функция была определена, необходимо выполнение следующих условий:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, нужно исключить значения переменной, при которых знаменатель равен нулю.

2. Внутри корней не должно быть отрицательных значений. Поскольку корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел, значения переменной должны быть такими, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

Давайте рассмотрим каждое условие по очереди.

1. Разложим знаменатель на множители: \(x^2-121 = (x+11)(x-11)\). Обратим внимание, что знаменатель не равен нулю ни при каких значениях переменной \(x\), поскольку \((x+11)\) и \((x-11)\) не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, знаменатель не ограничивает область определения функции.

2. Рассмотрим корень из выражений \(x^2-36 + 5x+3\) и \(11x-x^2-10\). Чтобы эти корни были определены, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными.

Для первого корня: \(x^2-36 + 5x+3 \geq 0\)

Решим данное неравенство:

\[x^2 + 5x - 33 \geq 0\]

Факторизуем выражение:

\((x-3)(x+11) \geq 0\)

Получаем два интервала значений переменной: \((- \infty, -11] \cup [3, +\infty)\).

Для второго корня: \(11x-x^2-10 \geq 0\)

Решим данное неравенство:

\[x^2 - 11x + 10 \leq 0\]

Факторизуем выражение:

\((x-1)(x-10) \leq 0\)

Получаем интервал значений переменной: \([1, 10]\).

Теперь соединим найденные интервалы, чтобы определить область определения функции:

\(x \in [-11, 1) \cup (3, 10]\)

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{\frac{x^2-36 +5x+3}{\sqrt{11x-x^2-10} -\sqrt[3]{x}}} / (x^2-121)\) состоит из всех значений переменной \(x\), принадлежащих интервалам \([-11, 1)\) и \((3, 10]\).