Какова площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан квадрат со стороной

Izumrudnyy_Pegas

24

Для решения данной задачи, будем использовать знания о геометрии и свойствах правильных многоугольников.

Правильный шестиугольник описан вокруг окружности, значит, все его вершины лежат на окружности. Также, вписанный в эту окружность квадрат диагонали является диаметром окружности.

Данный квадрат имеет сторону \(a\). Тогда его диагональ равна \(d = a \cdot \sqrt{2}\), поскольку диагональ квадрата равна произведению его стороны на \(\sqrt{2}\).

Так как диагональ квадрата является диаметром описанной окружности, то радиус окружности будет равен половине диагонали квадрата, то есть \(r = \frac{d}{2}\).

Определив радиус окружности, можем рассчитать площадь правильного шестиугольника. Общая формула площади правильного многоугольника состоит из двух параметров: радиуса окружности (\(r\)) и количества сторон многоугольника (\(n\)). В случае подсчета площади правильного шестиугольника, значение \(n\) будет равно 6.

Формула площади правильного многоугольника выглядит следующим образом:

\[S = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{n}\right)}\]

где \(S\) - площадь многоугольника, \(n\) - количество сторон, \(a\) - длина стороны.

Подставим известные значения в формулу и рассчитаем площадь правильного шестиугольника:

\[S = \frac{6 \cdot a^2}{4 \cdot \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)}\]

В данной формуле значение \(\tan \left(\frac{\pi}{6}\right)\) можно выразить как \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), так как \(\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Подставим полученные значения в формулу площади шестиугольника:

\[S = \frac{6 \cdot a^2}{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3 \cdot a^2}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, площадь правильного шестиугольника, описанного вокруг окружности, в которую вписан квадрат со стороной \(a\), равна \(\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{2}\).