Какова вероятность того, что среди первых 5 бросаний симметричной монеты выпадет: а) ровно 3 орла; б) ровно 1 решка?

Хвостик

22

Хорошо, давайте начнем с задачи а). Мы должны вычислить вероятность того, что среди первых пяти бросков симметричной монеты выпадет ровно три орла.

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением. Биномиальное распределение применяется в случаях, когда проводится серия однотипных испытаний (в данном случае – броски монеты), где есть два возможных исхода – успех или неудача (выпадение орла или решки).

Формула для биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

где:
- \(P(X = k)\) – вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз,
- \(C_n^k\) – биномиальный коэффициент (число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов),
- \(p\) – вероятность успеха в каждом испытании (вероятность выпадения орла),
- \(n\) – общее количество испытаний (число бросков монеты).

В нашем случае \(p = \frac{1}{2}\), так как монета симметрична (вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки), а \(n = 5\) (пять бросков).

Для задачи а) нам нужно найти вероятность \(P(X = 3)\), то есть вероятность выпадения ровно трех орлов. Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить:

\[P(X = 3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{5 - 3}\]

Вычислим значение биномиального коэффициента \(C_5^3\):

\[C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

\[P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{5 - 3}\]

\[P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{10}{2^5} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\]

Таким образом, вероятность того, что среди первых 5 бросаний симметричной монеты выпадет ровно 3 орла, равна \(\frac{5}{16}\).

Теперь перейдем к задаче б) - вероятности того, что среди первых 5 бросаний симметричной монеты выпадет ровно 1 решка.

Для решения этой задачи воспользуемся той же формулой биномиального распределения, где теперь \(k = 1\).

\[P(X = 1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{5 - 1}\]

Вычислим значение биномиального коэффициента \(C_5^1\):

\[C_5^1 = \frac{5!}{1! \cdot (5 - 1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5}{1} = 5\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить:

\[P(X = 1) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{5 - 1}\]

\[P(X = 1) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{5}{2^5} = \frac{5}{32}\]

Таким образом, вероятность того, что среди первых 5 бросаний симметричной монеты выпадет ровно 1 решка, равна \(\frac{5}{32}\).

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.