Какова высота правильного тетраэдра со стороной 10 см? Известные данные: ABCD - правильный тетраэдр, АВ = 10

Магический_Лабиринт

1

Для решения данной задачи вам потребуется использовать некоторые геометрические свойства тетраэдра.

1) Расстояние от вершины тетраэдра до центра его основания является медианой треугольника, образованного этой вершиной и двумя вершинами его основания. Для нашего случая, медиана от вершины A равна отрезку AF.

2) Используя теорему Пифагора в треугольнике ABF, где AB = 10 см и BF = \(\frac{AF}{2}\), мы можем найти значение AF.

AF² = AB² - BF²
AF² = 10² - \(\left(\frac{AF}{2}\right)²\)
AF² = 100 - \(\frac{AF²}{4}\)
4AF² = 400 - AF²
5AF² = 400
AF² = \(\frac{400}{5}\)
AF² = 80
AF = \(\sqrt{80}\)
AF = 2\(\sqrt{20}\) см

3) Так как отрезок AF делится на части в соотношении 2:1, мы можем найти значение AO.

AO = \(\frac{2}{3}\)AF
AO = \(\frac{2}{3}\) \(\cdot\) 2\(\sqrt{20}\)
AO = \(\frac{4}{3}\)\(\sqrt{20}\) см

4) Наконец, чтобы найти высоту тетраэдра, нам нужно найти значение DO. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ADO.

DO² = AO² + AD²
DO² = \(\left(\frac{4}{3}\)\(\sqrt{20}\)\right)² + 10²
DO² = \(\frac{16}{9}\) \(\cdot\) 20 + 100
DO² = \(\frac{320}{9} + \frac{900}{9}\)
DO² = \(\frac{1220}{9}\)
DO = \(\sqrt{\frac{1220}{9}}\)
DO = \(\frac{2\sqrt{305}}{3}\) см

Таким образом, высота правильного тетраэдра со стороной 10 см равна \(\frac{2\sqrt{305}}{3}\) см.