Каково было исследование функции и какой график был построен для f(x) = 5x^2 - 7x

Суслик

16

Исследование функции f(x) = 5x^2 - 7x состоит из нескольких шагов. Давайте рассмотрим каждый шаг подробнее:

1. Определение области определения функции:
Функция f(x) является квадратичной функцией, которая имеет смысл для всех действительных значений x. Таким образом, область определения этой функции - все действительные числа.

2. Вычисление вершины параболы:
Для нахождения вершины параболы, используем формулу: x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В нашем случае, a = 5, b = -7.
Подставим значения a и b в формулу: x = -(-7) / (2 * 5) = 7 / 10.
Теперь найдем значение f(x) в точке вершины, подставив полученное значение x в функцию: f(7/10) = 5(7/10)^2 - 7(7/10).

3. Вычисление дискриминанта и определение типа параболы:
Дискриминант D используется для определения типа параболы. Если D > 0, то парабола имеет два различных корня и открывается вверх или вниз, в зависимости от коэффициента при x^2. Если D = 0, то парабола имеет один корень и выглядит как вертикальная линия. Если D < 0, то парабола не имеет корней и открывается вверх или вниз.
Для квадратичной функции f(x) = 5x^2 - 7x дискриминант D вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты при x^2, x и свободный член соответственно.
Подставим значения a = 5, b = -7 и c = 0 в формулу: D = (-7)^2 - 4 * 5 * 0 = 49.
Так как D > 0, то парабола имеет два корня и открывается вверх или вниз.

4. Вычисление исходной функции для нескольких значений x:
Для понимания поведения функции f(x) необходимо вычислить значение функции для нескольких значений x и построить таблицу. Рассчитаем значения функции для, например, x = -1, 0, 1:
Для x = -1, f(-1) = 5(-1)^2 - 7(-1) = 5 + 7 = 12.
Для x = 0, f(0) = 5(0)^2 - 7(0) = 0.
Для x = 1, f(1) = 5(1)^2 - 7(1) = 5 - 7 = -2.

5. Построение графика функции:
На основе рассчитанных значений функции, мы можем построить график. Для этого выбирается система координат, где ось x представляет собой значения x, а ось y - значения f(x).
Нанесем точки, полученные на предыдущем шаге, на график и соединим их гладкой кривой. Ниже представлен график функции f(x) = 5x^2 - 7x:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={$x$},
ylabel={$f(x)$},
axis lines=middle,
xmin=-2, xmax=2,
ymin=-5, ymax=15,
xtick={-1, 0, 1},
ytick={-2, 0, 12},
]
\addplot[blue,domain=-2:2,samples=100] {5*x^2 - 7*x};
\addlegendentry{$f(x) = 5x^2 - 7x$}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Таким образом, мы провели исследование функции f(x) = 5x^2 - 7x, определили область определения, вычислили вершину параболы, дискриминант и тип параболы, рассчитали значения функции для нескольких значений x и построили график функции.