Каково подробное решение неравенства [tex]0,5log_{6-x} (9-6x+x^{2} ) + 9log_{x-3} (9x-x^{2} -18) leq 3[/tex]?

Grigoryevna

23

Хорошо, давайте решим данное неравенство по шагам, чтобы ответ был максимально понятен.

Шаг 1: Приведение выражения к единому основанию логарифма

У нас есть два логарифма с различными основаниями: \(log_{6-x}\) и \(log_{x-3}\). Чтобы решить задачу, нам необходимо привести их к единому основанию, чтобы объединить выражение и упростить его.

Мы можем воспользоваться свойством логарифмов \(log_a(b) = \frac{{log_c(b)}}{{log_c(a)}}\) для приведения к основанию 10, например.

Таким образом, наше выражение будет выглядеть следующим образом:

\[0.5 \frac{{log(9-6x+x^2)}}{{log(6-x)}} + 9 \frac{{log(9x-x^2-18)}}{{log(x-3)}} \leq 3\]

Шаг 2: Упрощение логарифмических выражений

Давайте упростим выражения в числителях и знаменателях каждой дроби:

\[0.5 \frac{{log((3-x)^2)}}{{log(6-x)}} + 9 \frac{{log((9x-x^2-18))}}{{log(x-3)}} \leq 3\]

Шаг 3: Введение новых переменных

Для упрощения дальнейших вычислений давайте введем новые переменные:

Пусть \(y = log(6-x)\) и \(z = log(x-3)\).

Тогда наше неравенство может быть переписано следующим образом:

\[0.5 \frac{{log((3-x)^2)}}{{y}} + 9 \frac{{log((9x-x^2-18))}}{{z}} \leq 3\]

Шаг 4: Подстановка новых переменных

Подставим значения \(y\) и \(z\) в исходное уравнение:

\[0.5 \frac{{log((3-x)^2)}}{{log(6-x)}} + 9 \frac{{log((9x-x^2-18))}}{{log(x-3)}} \leq 3\]

Шаг 5: Умножение обеих сторон на общий знаменатель

Умножим оба выражения в неравенстве на \(2y \cdot log(6-x) \cdot log(x-3)\) для устранения дробей. Получим:

\[log((3-x)^2) \cdot log(x-3) + 18 \cdot log(9x-x^2-18) \cdot log(6-x) \leq 6y \cdot log(6-x) \cdot log(x-3)\]

Шаг 6: Упрощение выражения

Упростим полученное выражение:

\[log((3-x)^2) \cdot log(x-3) + 18 \cdot log(9x-x^2-18) \cdot log(6-x) - 6y \cdot log(6-x) \cdot log(x-3) \leq 0\]

Шаг 7: Приведение к общему основанию

Приведем выражение к общему основанию (10), чтобы продолжить упрощение:

\[\frac{{log^2((3-x)^2)}}{{log(10)}} + 18 \cdot \frac{{log(9x-x^2-18)^{log(6-x)}}}{{log(10)}} - 6y \cdot \frac{{log^2(6-x)}}{{log(10)}} \leq 0\]

Шаг 8: Упрощение уравнения

Упростим полученное уравнение:

\[log^2((3-x)^2) + 18 \cdot log(9x-x^2-18)^{log(6-x)} - 6y \cdot log^2(6-x) \leq 0\]

Шаг 9: Выражение через основание логарифма

Перепишем уравнение в терминах основания логарифма:

\[(3-x)^2 \cdot 10^{18 \cdot log(9x-x^2-18)} \cdot (10^{-6})^y \cdot (6-x)^{-10} \leq 1\]

Шаг 10: Анализ решения

Теперь нам необходимо анализировать полученное уравнение и определить, при каких значениях переменных оно выполняется. Это требует дополнительного исследования и могут потребоваться численные методы для решения уравнения.

К сожалению, в данной задаче такой анализ будет сложным в рамках данного ответа, поскольку требуется работа с логарифмами и возведением в степень. Однако, вы можете использовать полученное решение и численные методы для определения конкретных значений переменных, при которых неравенство выполняется.