Определить интервалы, на которых функция y=2/x+1 монотонна

Марк_1435

48

Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y = \frac{2}{x} + 1\) монотонна, мы должны проанализировать производную этой функции. Поскольку функция \(y\) является дробно-рациональной, применим правило производной для частных производных.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\).
Используя правило производной для частных производных, получаем:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{x^2}
\]

Шаг 2: Решим неравенство \(\frac{dy}{dx} > 0\) для определения интервалов, на которых функция \(y\) является возрастающей.

\[
\frac{-2}{x^2} > 0
\]

Умножим обе части неравенства на \(x^2\) (заметьте, что \(x^2\) является положительным числом, поэтому знак неравенства не меняется):

\[
-2 > 0
\]

Это неравенство неверно для всех значений \(x\). То есть, функция \(y\) не является возрастающей ни на одном интервале.

Шаг 3: Решим неравенство \(\frac{dy}{dx} < 0\) для определения интервалов, на которых функция \(y\) является убывающей.

\[
\frac{-2}{x^2} < 0
\]

Умножим обе части неравенства на \(x^2\):

\[
-2 < 0
\]

Это неравенство верно для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\). То есть, функция \(y\) является убывающей на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, +\infty)\).

В итоге, интервалы, на которых функция \(y = \frac{2}{x} + 1\) монотонна, это \((-\infty, 0)\) и \((0, +\infty)\).