Определите значения:sin (a/2), cos (a/2), ctg (a/2) и tg (a/2), в случае если значение cos (a) равно 1/3 и угол

Валентина

62

Решим данную задачу пошагово:

1. Нам дано значение \(\cos(a) = \frac{1}{3}\).
2. Мы знаем, что \(\cos(a) = \cos(2 \cdot \frac{a}{2}) = 2 \cdot \cos^2(\frac{a}{2}) - 1\). Здесь мы использовали формулу двойного угла для косинуса.
3. Подставим значение \(\cos(a)\), чтобы решить уравнение: \(2 \cdot (\frac{1}{3})^2 - 1 = \cos^2(\frac{a}{2})\).
4. Вычислим это выражение: \(\frac{2}{9} - 1 = \cos^2(\frac{a}{2})\).
5. Приведем числитель к общему знаменателю: \(\frac{2}{9} - \frac{9}{9} = \cos^2(\frac{a}{2})\).
6. Выполним операцию: \(-\frac{7}{9} = \cos^2(\frac{a}{2})\).
7. Чтобы найти значение \(\cos(\frac{a}{2})\), возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения: \(\cos(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{-\frac{7}{9}}\). Обратите внимание, что мы использовали знак \(\pm\), так как корень квадратный может быть как положительным, так и отрицательным.
8. Так как значение функций тригонометрии всегда лежит в диапазоне от -1 до 1, мы можем сделать вывод, что \(\cos(\frac{a}{2})\) должен быть меньше или равен 1. Следовательно, корень из отрицательного числа невозможен и исключается из рассмотрения.
9. Значит, мы имеем \(\cos(\frac{a}{2}) = \sqrt{-\frac{7}{9}}\).
10. Теперь найдем значения других тригонометрических функций.
11. Мы знаем, что \(\sin(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\frac{a}{2})}\).
12. Подставим значение \(\cos(\frac{a}{2})\), чтобы решить уравнение: \(\sin(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{1 - (-\frac{7}{9})}\).
13. Сократим уравнение: \(\sin(\frac{a}{2}) = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}\).
14. Приведем квадратный корень к общему знаменателю: \(\sin(\frac{a}{2}) = \pm \frac{4}{3}\).
15. Теперь рассмотрим другие функции.
16. Из определений \(\tg(\frac{a}{2}) = \frac{\sin(\frac{a}{2})}{\cos(\frac{a}{2})}\) и \(\ctg(\frac{a}{2}) = \frac{1}{\tg(\frac{a}{2})}\) получаем:
- Значение \(\tg(\frac{a}{2}) = \frac{\sin(\frac{a}{2})}{\cos(\frac{a}{2})} = \frac{\pm \frac{4}{3}}{\sqrt{-\frac{7}{9}}} = \pm \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{-7}} = \pm \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \pm \frac{4\sqrt{9}}{3\sqrt{7}} = \pm \frac{4}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{9}}{3} = \pm \frac{4\sqrt{9}}{3\sqrt{7}} = \pm \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \pm \frac{4}{\sqrt{7}}\).
- Значение \(\ctg(\frac{a}{2}) = \frac{1}{\tg(\frac{a}{2})} = \frac{1}{\pm \frac{4}{\sqrt{7}}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}\).

Итак, значения указанных тригонометрических функций при данном условии равны:
\(\sin(\frac{a}{2}) = \pm \frac{4}{3}\),
\(\cos(\frac{a}{2}) = \sqrt{-\frac{7}{9}}\),
\(\ctg(\frac{a}{2}) = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}\),
\(\tg(\frac{a}{2}) = \pm \frac{4}{\sqrt{7}}\).