Вариант 3: 1. Посчитайте значение выражения: а) Чему равно √125 ∙ 512 - √216 3? б) При а = 16, найдите результат

Радуга

34

Добро пожаловать! Давайте пошагово решим каждую задачу.

1. а) Чтобы посчитать значение выражения √125 ∙ 512 - √216 3, выполним действия по порядку:

\(\sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)
\(\sqrt{216} = 6\sqrt{6}\)

Тогда выражение будет выглядеть так:

\(5\sqrt{5} \cdot 512 - 6\sqrt{6} \cdot 3\)

Раскроем скобки и упростим:

\(2560\sqrt{5} - 18\sqrt{6}\)

Это и есть окончательный ответ.

б) Подставим \(a = 16\) в выражение \(0,9a^{56} : 3a^{13}\) и выполним вычисления:

\(0,9 \cdot 16^{56} : 3 \cdot 16^{13}\)

Упростим:

\(0,9 \cdot 2^{168} : 3 \cdot 2^{39}\)

Теперь соединим деление и упростим выражение:

\(0,3 \cdot 2^{168-39}\)

\(0,3 \cdot 2^{129}\)

Ответ: \(0,3 \cdot 2^{129}\).

в) Рассмотрим выражение \((\sqrt{2})^{\log{\sqrt{25}}} \cdot \log{327}\).

\(\sqrt{2}\) равно приблизительно 1,4142.

\(\log{\sqrt{25}}\) равно 2, так как \(\sqrt{25} = 5\).

\(\log{327}\) равно приблизительно 2,5157.

Теперь подставим значения в выражение:

\(1,4142^2 \cdot 2,5157\)

После упрощения получим:

\(1,9998 \cdot 2,5157\)

Ответ: \(5,0344\).

г) В этом выражении у нас есть два слагаемых вида \(\log{575}\) и \(\log_5(25^{-1})\).

Так как \(25^{-1}\) равно \(\frac{1}{25}\), то \(\log_5(25^{-1})\) равно -1.

Подставим значения и просуммируем:

\(\log{575} + \log_5(25^{-1})\)

\(\log{575} + (-1)\)

\(\log{575} - 1\)

Ответ: \(\log{575} - 1\).

2. Чтобы найти значение \(\sin{\alpha}\), используя факт, что \(\cos{\alpha} = \frac{45}{32}\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < 2\pi,\) давайте построим треугольник на единичной окружности (так как \(\sin{\alpha}\) и \(\cos{\alpha}\) связаны синусом и косинусом угла α на единичной окружности).

\(\cos{\alpha} = \frac{45}{32}\) означает, что сторона прилегающая к углу α равна \(45\), а гипотенуза равна \(32\).

Воспользуемся теоремой Пифагора:

\((\sin{\alpha})^2 = 1 - (\cos{\alpha})^2\)

\((\sin{\alpha})^2 = 1 - \left(\frac{45}{32}\right)^2\)

\((\sin{\alpha})^2 = 1 - \frac{45^2}{32^2}\)

Вычислим это выражение:

\((\sin{\alpha})^2 = 1 - \frac{2025}{1024}\)

Теперь найдем значение \(\sin{\alpha}\) из полученного уравнения:

\(\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \frac{2025}{1024}}\)

\(\sin{\alpha} \approx \sqrt{\frac{1024}{1024} - \frac{2025}{1024}}\)

\(\sin{\alpha} \approx \sqrt{\frac{-1001}{1024}}\)

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому ответ составляет:

\( \sin{\alpha} \) не определено.

3. Вычислим выражение \( \cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ} \).

Используем формулу двойного аргумента и тригонометрические идентичности:

\(\cos{2\theta} = \cos^2{\theta} - \sin^2{\theta} \)

Подставим \( \theta = 75^\circ \):

\(\cos{150^\circ} = \cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ} \)

Используем знание, что \( \cos{(180^\circ - \theta)} = -\cos{\theta} \):

\(-\cos{30^\circ} = \cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ} \)

Рассмотрим значения функции косинуса и синуса для углов 30 градусов:

\(\cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \)

Подставим полученные значения:

\(-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ} \)

Теперь упростим выражение:

\(-\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\cos^2{75^\circ}}{\cos^2{75^\circ}} - \frac{\sin^2{75^\circ}}{\cos^2{75^\circ}} \)

\(\cos^2{75^\circ} = \frac{\cos^2{75^\circ} - \sin^2{75^\circ}}{\cos^2{75^\circ}} \)

\(\cos^2{75^\circ} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos^2{75^\circ}} \)

Для вычисления квадрата косинуса \(75^\circ\) обратимся к таблице значений или используем калькулятор:

\(\cos^2{75^\circ} \approx 0,0669 \)

Ответ: \(0,0669\).

4. а) Разберемся с уравнением \((132)^{0,1x - 1} = 16\).

Возьмем логарифмирование от обеих частей уравнения:

\(\log{(132)^{0,1x - 1}} = \log{16}\)

Применим свойство логарифма \(\log{(a^b)} = b \cdot \log{a}\):

\((0,1x - 1) \cdot \log{132} = \log{16}\)

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно \(x\):

\(0,1x - 1 = \frac{\log{16}}{\log{132}}\)

\(0,1x = \frac{\log{16}}{\log{132}} + 1\)

Вычислим значения логарифмов и произведения:

\(0,1x = 0,1790 + 1\)

\(0,1x = 1,1790\)

Теперь найдем значение \(x\):

\(x = \frac{1,1790}{0,1}\)

Ответ: \(x = 11,79\).

б) Рассмотрим уравнение \(\log_{0,4}(6 - x) = -1\).

Применим определение логарифма:

\(0,4^{-1} = 6 - x\)

Упростим:

\(2,5 = 6 - x\)

Выразим \(x\):

\(x = 6 - 2,5\)

Ответ: \(x = 3,5\).

в) Решим уравнение \(\log_4(-2) + \log_{12}(x - 2) = 12\).

Заметим, что нельзя брать логарифм отрицательного числа, поэтому уравнение не имеет решений.

г) Дано уравнение \(\sqrt{3} - 2x = 6 + x\).

Перенесем все \(x\) на одну сторону:

\(\sqrt{3} - 6 = 3x + 2x\)

\(\sqrt{3} - 6 = 5x\)

Разделим обе части на 5:

\(x = \frac{\sqrt{3} - 6}{5}\)

Ответ: \(x = \frac{\sqrt{3} - 6}{5}\).

д) Здесь нужно узнать наименьшее значение \(x\) без уравнения. Так что мы можем просто ответить, что наименьшее значение \(x\) будет \(-\infty\) или применить дополнительные ограничения к уравнению.

Надеюсь, я был полезен в решении ваших задач! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!