Який радіус кола, вписаного в ромб, де один з кутів дорівнює 60°, а більша діагональ має довжину

Мурзик

7

14 сантиметрів?

Щоб знайти радіус кола, вписаного в ромб, ми можемо скористатись властивістю цього кола: радіус кола, вписаного в ромб, є половиною діагоналі ромба.

Давайте позначимо більшу діагональ ромба як \(D_1\) і радіус кола як \(r\).

Ми знаємо, що один з кутів ромба дорівнює 60°. Оскільки сума кутів усього трикутника дорівнює 180°, кути при основі цього трикутника (трикутника, утвореного більшою діагоналлю ромба) дорівнюють 180° - 60° = 120°.

Далі, ми можемо розділити цей трикутник на два рівнобедрені трикутники за допомогою висоти. Оскільки ромб є рівнобедреним, лінія, що з"єднує вершину ромба з серединою протилежної сторони, є висотою.

Отже, утворюючі цих двох рівнобедрених трикутників є сторонами ромба, а висота є відрізком, що проходить через центр кола. Дві сторони ромба і відрізок, що проходить через центр кола, утворюють прямокутний трикутник.

Застосовуючи властивість прямокутного трикутника, ми можемо використовувати піфагорову теорему: сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. В цьому випадку, катети цього трикутника є половиною діагоналі ромба (тобто \(D_1/2\)), а гіпотенуза є радіусом кола (тобто \(r\)).

Застосовуючи піфагорову теорему, ми отримуємо наступне рівняння:

\((D_1/2)^2 + (D_1/2)^2 = r^2\)

\(2(D_1/2)^2 = r^2\)

\(D_1^2 = 4r^2\)

Тепер ми можемо обчислити \(r\) шляхом використання відомої довжини більшої діагоналі \(D_1\).

\(D_1 = 14\) (сантиметрів)

\(r = \sqrt{\frac{D_1^2}{4}}\)

\(r = \sqrt{\frac{14^2}{4}}\)

\(r = \sqrt{49}\)

\(r = 7\) (сантиметрів)

Отже, радіус кола, вписаного в ромб, де один з кутів дорівнює 60°, а більша діагональ має довжину 14 сантиметрів, дорівнює 7 сантиметрам.