Является ли равенство sin 80° - cos 20° = sin 40° верным? Предоставьте решение

Маруся

30

Да, конечно! Давайте решим данную задачу шаг за шагом:

Мы должны проверить, является ли равенство \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ = \sin 40^\circ\) верным.

1. Начнем с упрощения выражения \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ\). Возможно, мы сможем представить его в более простой форме.

2. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами.

3. Следуя формуле разности для синуса, мы можем записать \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ\) как \(\sin(90^\circ - 10^\circ) - \cos 20^\circ\).

4. Затем мы можем применить формулу синуса разности: \(\sin(90^\circ - 10^\circ) = \sin 90^\circ \cdot \cos 10^\circ - \cos 90^\circ \cdot \sin 10^\circ\).

5. Учитывая, что \(\sin 90^\circ = 1\) и \(\cos 90^\circ = 0\), получаем \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ = 1 \cdot \cos 10^\circ - 0 \cdot \sin 10^\circ\).

6. Это даёт нам \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ = \cos 10^\circ - 0\).

7. Теперь давайте выразим \(\sin 40^\circ\) с помощью тригонометрических тождеств.

8. Мы знаем, что \(\sin 40^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = 2 \cdot \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ\).

9. Используя формулу удвоения для синуса, получаем \(\sin 40^\circ = 2 \cdot \sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ\).

10. Сравнивая полученное со значением \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ\), мы видим совпадение: \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ = \sin 40^\circ\).

Итак, равенство \(\sin 80^\circ - \cos 20^\circ = \sin 40^\circ\) является верным. Оба выражения дают одинаковый результат.