Задача 1: Каковы вероятности выпадения 5 очков при 6 бросках игральной кости: а) если 5 очков не выпадут (выпадут

Мурка_500

24

Конечно, давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:
а) Для каждого броска выпадение 5 очков имеет вероятность \(\frac{1}{6}\), а не выпадение 5 очков, соответственно, имеет вероятность \(\frac{5}{6}\). Так как нам нужно, чтобы 5 очков не выпало ни разу за 6 бросков, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Обозначим вероятность выпадения 5 очков как \(p\), а вероятность не выпадения 5 очков как \(q\).
Используя формулу биномиального распределения, вероятность того, что 5 очков не выпадут ни разу за 6 бросков, можно вычислить следующим образом:
\[P(X=0) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
\[P(X=0) = C_6^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6\]
\[P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6\]
\[P(X=0) \approx 0.3349\]

б) Чтобы 5 очков выпали ровно 2 раза из 6 бросков, мы можем использовать ту же формулу биномиального распределения. В этом случае переменная \(k\) будет равна 2.
\[P(X=2) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
\[P(X=2) = C_6^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\]
\[P(X=2) = 15 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\]
\[P(X=2) \approx 0.1929\]

в) Чтобы 5 очков выпали ровно 5 раз из 6 бросков:
\[P(X=5) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
\[P(X=5) = C_6^5 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\]
\[P(X=5) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)\]
\[P(X=5) \approx 0.0008\]

Ответы на задачу 1:
а) Вероятность выпадения 5 очков 0 раз за 6 бросков: 0.3349 (округлено до 4 знаков после запятой).
б) Вероятность выпадения 5 очков 2 раза за 6 бросков: 0.1929 (округлено до 4 знаков после запятой).
в) Вероятность выпадения 5 очков 5 раз за 6 бросков: 0.0008 (округлено до 4 знаков после запятой).

Задача 2:
Вероятность появления орла при одном подбрасывании монеты равна \(\frac{1}{2}\). Для 9 подбрасываний монеты наивероятнейшее число появлений орла будет равно \(\frac{9}{2}\), так как это среднее значение.
Теперь, чтобы найти вероятность появления орла ровно \(\frac{9}{2}\) раз, мы можем использовать формулу Пуассона. Обозначим \(\lambda\) как среднее значение числа появлений орла.
\[P(X=\frac{9}{2}) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^{\frac{9}{2}}}{(\frac{9}{2})!}\]
\[P(X=\frac{9}{2}) = \frac{e^{-\frac{9}{2}} \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^{\frac{9}{2}}}{(\frac{9}{2})!}\]
\[P(X=\frac{9}{2}) \approx 0.0572\]

Ответ на задачу 2:
Вероятность наивероятнейшего числа появлений орла при 9 подбрасываниях монеты: 0.0572 (округлено до 4 знаков после запятой).

Задача 3:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.1. В данной задаче нам нужно найти вероятность поражения цели хотя бы два раза при 8 выстрелах.
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение и сложить вероятности поражения цели в точности 2, 3, 4, ..., 8 раз.
\[P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)\]
\[P(X \geq 2) = 1 - C_8^0 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^8 - C_8^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^7\]
\[P(X \geq 2) \approx 0.2639\]

Ответ на задачу 3:
Вероятность поражения цели хотя бы два раза при выполнении 8 выстрелов: 0.2639 (округлено до 4 знаков после запятой).

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь их задать.