Задача 1: Каковы вероятности выпадения 5 очков при 6 бросках игральной кости: а) если 5 очков не выпадут (выпадут

Мурка_500

24

Конечно, давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1:
а) Для каждого броска выпадение 5 очков имеет вероятность $\frac{1}{6}$, а не выпадение 5 очков, соответственно, имеет вероятность $\frac{5}{6}$. Так как нам нужно, чтобы 5 очков не выпало ни разу за 6 бросков, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Обозначим вероятность выпадения 5 очков как $p$, а вероятность не выпадения 5 очков как $q$.
Используя формулу биномиального распределения, вероятность того, что 5 очков не выпадут ни разу за 6 бросков, можно вычислить следующим образом:
$$P(X=0)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$$
$$P(X=0)=C_6^0\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^0\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^6$$
$$P(X=0)=1\cdot 1\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^6$$
$$P(X=0)\approx 0.3349$$

б) Чтобы 5 очков выпали ровно 2 раза из 6 бросков, мы можем использовать ту же формулу биномиального распределения. В этом случае переменная $k$ будет равна 2.
$$P(X=2)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$$
$$P(X=2)=C_6^2\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^4$$
$$P(X=2)=15\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^4$$
$$P(X=2)\approx 0.1929$$

в) Чтобы 5 очков выпали ровно 5 раз из 6 бросков:
$$P(X=5)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$$
$$P(X=5)=C_6^5\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^5\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^1$$
$$P(X=5)=6\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^5\cdot \left(\frac{5}{6}\right)$$
$$P(X=5)\approx 0.0008$$

Ответы на задачу 1:
а) Вероятность выпадения 5 очков 0 раз за 6 бросков: 0.3349 (округлено до 4 знаков после запятой).
б) Вероятность выпадения 5 очков 2 раза за 6 бросков: 0.1929 (округлено до 4 знаков после запятой).
в) Вероятность выпадения 5 очков 5 раз за 6 бросков: 0.0008 (округлено до 4 знаков после запятой).

Задача 2:
Вероятность появления орла при одном подбрасывании монеты равна $\frac{1}{2}$. Для 9 подбрасываний монеты наивероятнейшее число появлений орла будет равно $\frac{9}{2}$, так как это среднее значение.
Теперь, чтобы найти вероятность появления орла ровно $\frac{9}{2}$ раз, мы можем использовать формулу Пуассона. Обозначим $\lambda$ как среднее значение числа появлений орла.
$$P(X=\frac{9}{2})=\frac{e^{-\lambda }\cdot {\lambda }^{\frac{9}{2}}}{(\frac{9}{2})!}$$
$$P(X=\frac{9}{2})=\frac{e^{-\frac{9}{2}}\cdot {\left(\frac{9}{2}\right)}^{\frac{9}{2}}}{(\frac{9}{2})!}$$
$$P(X=\frac{9}{2})\approx 0.0572$$

Ответ на задачу 2:
Вероятность наивероятнейшего числа появлений орла при 9 подбрасываниях монеты: 0.0572 (округлено до 4 знаков после запятой).

Задача 3:
Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.1. В данной задаче нам нужно найти вероятность поражения цели хотя бы два раза при 8 выстрелах.
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение и сложить вероятности поражения цели в точности 2, 3, 4, ..., 8 раз.
$$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$$
$$P(X\ge 2)=1-C_8^0\cdot (0.1{)}^0\cdot (0.9{)}^8-C_8^1\cdot (0.1{)}^1\cdot (0.9{)}^7$$
$$P(X\ge 2)\approx 0.2639$$

Ответ на задачу 3:
Вероятность поражения цели хотя бы два раза при выполнении 8 выстрелов: 0.2639 (округлено до 4 знаков после запятой).

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь их задать.