Задание 1. Подтвердите, что сумма квадратов двух чисел больше разности удвоенной суммы этих чисел и числа два. Задание
Задание 1. Подтвердите, что сумма квадратов двух чисел больше разности удвоенной суммы этих чисел и числа два. Задание 2. Докажите, что любое нечетное число, кроме единицы, может быть выражено как разность двух квадратов. Как решить задачу Пифагора? С чего следует начать доказательство? Задание 3. Любое натуральное число, оканчивающееся на цифру 5, может быть записано в виде 10а+5. Например, 25=10*2+5*2+5. Подтвердите, что для вычисления квадрата такого числа можно добавить справа 25 к произведению а(а+1). Например, 252=625, так как 2(2+1)=6. Задание 4. Длина прямоугольника в три раза больше ширины. Если увеличить ширину на
Мистическая_Феникс 17
Задание 1. Для доказательства данного утверждения необходимо сравнить сумму квадратов двух чисел и разность удвоенной суммы этих чисел и числа два. Пусть у нас есть два числа \(a\) и \(b\). Тогда сумма квадратов этих чисел будет выглядеть следующим образом: \(a^2 + b^2\). Разность удвоенной суммы этих чисел и числа два имеет вид: \(2(a+b) - 2\).Теперь сравним сумму квадратов и разность удвоенной суммы этих чисел и числа два:
\[a^2 + b^2 > 2(a+b) - 2\]
Для упрощения дальнейших выкладок, перенесем все в левую часть неравенства:
\[a^2 + b^2 - 2(a+b) + 2 > 0\]
Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:
\[(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) > 0\]
Перепишем уравнение, используя квадратные трехчлены:
\[(a-1)^2 + (b-1)^2 > 0\]
Теперь обратимся к определению квадратного трехчлена: любой квадратный трехчлен всегда положителен или равен нулю. Таким образом, сумма квадратов двух чисел всегда будет больше разности удвоенной суммы этих чисел и числа два.
Задание 2. Рассмотрим произвольное нечетное число \(n\). Это число можно представить в виде \(n = 2k+1\), где \(k\) - некоторое целое число.
Мы хотим показать, что такое число \(n\) может быть выражено как разность двух квадратов. Представим два квадрата как \((k+1)^2\) и \(k^2\).
Тогда разность двух квадратов будет равна:
\((k+1)^2 - k^2 = k^2+2k+1-k^2 = 2k+1\)
Как видим, данное выражение совпадает с нашим исходным нечетным числом \(n\). Таким образом, мы показали, что любое нечетное число, кроме единицы, может быть выражено как разность двух квадратов.
Задание 3. Для проверки утверждения о том, что любое натуральное число, оканчивающееся на цифру 5, может быть записано в виде \(10a+5\), рассмотрим пример с числом 25:
\[25 = 10\cdot2+5\cdot2+5\]
Как видим, данное утверждение выполняется для числа 25. Теперь докажем утверждение о прибавлении 25 к произведению \(a(a+1)\). Раскроем скобки:
\[a(a+1)+25 = a^2 + a + 25\]
Теперь проанализируем последние две цифры при возведении числа \(a\) в квадрат. Поскольку число \(a\) оканчивается на 5, его квадрат будет оканчиваться на 25. Следовательно, утверждение подтверждается для числа \(a(a+1)+25\).
Задание 4. У вас прервалось задание. Пожалуйста, продолжите его, и я с радостью помогу вам!